二次规划

2支棒棒糖

二次规划为求目标函数 的最小值，该函数的约束包括A·x ≤ b，Aeq·x = beq，l ≤ x ≤ u。二次规划与线性规划的区别在于目标函数为自变量的二次函数。
MATLAB提供用于二次规划的函数为quadprog，该函数的调用格式包括：

1. x = quadprog(H,f)
   
2. x = quadprog(H,f,A,b)
   
3. x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq)
   
4. x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
   
5. x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)
   
6. x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)
   
7. x = quadprog(problem)
   
8. [x,fval]= quadprog(H,f,...)
   
9. [x,fval,exitflag]= quadprog(H,f,...)
   
10. [x,fval,exitflag,output]= quadprog(H,f,...)
    
11. [x,fval,exitflag,output,lambda]= quadprog(H,f,...)

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其中，f为中的cT ，H为其中的H（必须为正定矩阵）；x为返回的x；A为不等式约束系数矩阵，b为不等式约束的右项；Aeq为等式约束的左项，beq为等式约束的右项；lb、ub分别为x的下限和上限；x0为初始求解点，options为optimset命令设置的选项；problem为满足要求的数据结构；fval为求解函数的值；exitflag描述退出条件；output为优化信息数据；lambda参数是解x处的拉格朗日乘子。它有以下一些属性：

• lambda.lower——lambda的下界；
• lambda.upper——lambda的上界；
• lambda.ineqlin——lambda的线性不等式；
• lambda.eqlin——lambda的线性等式
  

例11-7，二次规划示例。目标函数 受以下约束：
求x的值，使目标函数的值最小。
在命令行窗口输入：

1. H=eye(4)
   
2. f=ones(4,1)
   
3. A = [6 3 5 2; 0 0 1 1; -1 0 1 0; 0 -1 0 1];
   
4. b = [9; 1; 0; 0];
   
5. [x,fval,exitflag,output,lambda]= quadprog(H,f, A,b)

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输出结果如下：

1. H = 1       0     0      0
   
2.          0      1     0      0
   
3.          0      0     1      0
   
4.          0      0     0      1
   
5.     f = 1
   
6.          1
   
7.          1
   
8.          1
   
9.     Optimization terminated.
   
10.     x = -1
    
11.          -1
    
12.          -1
    
13.          -1
    
14.     fval =    -2
    
15.     exitflag =     1
    
16.     output = iterations: 1
    
17.          constrviolation: 0
    
18.               algorithm: 'active-set'
    
19.               message: 'Optimization terminated.'
    
20.               firstorderopt: 0
    
21.               cgiterations: []
    
22.     lambda = lower: [4x1 double]
    
23.               upper: [4x1 double]
    
24.               eqlin: [0x1 double]
    
25.               ineqlin: [4x1 double]

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