[Matlab数据分析]迭代法解线性方程组

2支棒棒糖

求解线性方程组的非线性迭代方法包括预条件法与共轭梯度法等。
1．共轭梯度法

MATLAB提供了cgs函数对方程组进行共轭梯度法求解，该函数的调用格式如下：

1. x=cgs(A,b)
   
2. cgs(A,b,tol)
   
3. cgs(A,b,tol,maxit)
   
4. cgs(A,b,tol,maxit,M)
   
5. cgs(A,b,tol,maxit,M1,M2)
   
6. cgs(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)
   
7. [x,flag]=cgs(A,b,...)
   
8. [x,flag,relres]=cgs(A,b,...)
   
9. [x,flag,relres,iter]=cgs(A,b,...)
   
10. [x,flag,relres,iter,resvec]=cgs(A,b,...)

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其中，A为系数矩阵（必须为方阵）；b为方程右项常数向量；tol为误差，默认为1e-6；maxit为最大迭代次数，默认为20；M或M=M1*M2用来进行inv(M)*A*x= inv(M)*b替代，称为预条件，默认为[]；x0为初始值，默认为零向量；x为返回的解向量；flag为收敛判定标识；iter为迭代次数；resvec为残余向量。

例10-4，使用共轭梯度法求解方程组。

在命令行窗口输入:

1. A=magic(3);
   
2. b=[71011]';
   
3. tol=1e-12;maxit=15;
   
4. M1=diag([111]);
   
5. x=cgs(A,b,tol,maxit,M1)

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输出结果如下：

1. cgs converged at iteration 3 to a solution with relative residual 4.7e-14.
   
2. x = 0.2889
   
3. 0.9556
   
4. 0.6222

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2．预条件共轭梯度法

MATLAB提供了pcg函数对方程组进行预条件共轭梯度法求解，该函数的调用格式如下：

1. x=pcg(A,b)
   
2. pcg(A,b,tol)
   
3. pcg(A,b,tol,maxit)
   
4. pcg(A,b,tol,maxit,M)
   
5. pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2)
   
6. pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)
   
7. [x,flag]=pcg(A,b,...)
   
8. [x,flag,relres]=pcg(A,b,...)
   
9. [x,flag,relres,iter]=pcg(A,b,...)
   
10. [x,flag,relres,iter,resvec]=pcg(A,b,...)

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其中，A为系数矩阵（必须为方阵）；b为方程右项常数向量；tol为误差，默认为1e-6；maxit为最大迭代次数，默认为20；M或M=M1*M2用来进行inv(M)*A*x= inv(M)*b替代，称为预条件，默认为[]；x0为初始值，默认为零向量；x为返回的解向量；flag为收敛判定标识；iter为迭代次数；resvec为残余向量。

例10-5，使用预条件共轭梯度法求解方程组示例。

在命令行窗口输入：

1. A=hilb(3);
   
2. b=[71011]';
   
3. tol=1e-12;maxit=15;
   
4. M1=diag([111]);
   
5. x=pcg(A,b,tol,maxit,M1)

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输出结果如下：

1. pcg converged at iteration 3 to a solution with relative residual 2.4e-13.
   
2.     x = 33.0000
   
3.          -312.0000
   
4.          390.0000

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