优化问题求解过程

2支棒棒糖

在MATLAB中求解优化问题需要遵循一定的程序，这些程序包括选择求解器、设置变量、写目标函数、写约束条件、设置求解器参数、求解并检查结果和改善优化结果；虽然不是在每个问题的求解过程中都需要这几个步骤。

1、选择求解器

选择求解器前，需要确定目标方程的类型，可从以下5个选项中选择确认：线性（Linear）；二次（Quadratic）；最小二乘（Least Squares）；平滑非线性（Smooth nonlinear）；非平滑（Nonsmooth）。

然后，确定约束方程属于下面哪一类：无约束（None）；边界（Bound）；线性（Linear）；平滑（General smooth）；离散值（Discrete），最后选择求解器。

2、设置变量

设置变量包括：确定优化的目标和约束；根据目标和约束确定所有变量；将变量写入向量中。

3、写目标函数

目标函数包括：单变量目标函数；向量和矩阵目标函数组；线性规划或二次规划目标函数。

这些目标函数的写入方式如下文所示。

①写单变量目标函数

单变量目标函数允许输入一个参数，该参数可以为标量、向量或矩阵；该函数所在的函数文件（如使用）可输出超过一个结果。

例11-1，写下面目标函数的函数文件，并检验：

f (x ) = (x − y )三次方− x /(1 + x平方+ z平方 ) + cosh(x −1)

打开M文件编辑器，并写入：

1. <p style="line-height: 30px; text-indent: 2em;"><span style="text-indent: 2em;">function f = myObjective11_1(xin)</span></p><p style="line-height: 30px; text-indent: 2em;">f = (xin(1)-xin(2))^3 + xin(1) /(1+ xin(1)^2+ xin(3)^2)+ cosh(xin(1)-1) ;</p>

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保存文件为myObjective11_1.m到当前路径。

在命令行窗口输入：

1. myObjective11_1([1;2;3])

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输出结果如下：

1. ans =  0.0909

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提示：通过输出更多的参数，还可以在函数文件输出结果中输出导数。例如可以编写程序，使输出结果依次为目标函数、梯度和偏导。

例11-2，从目标函数文件中输出导数。该函数如下：

f (x ) = 100(x2 - x1平方)平方 - (1 - x1 )平方

打开M文件编辑器，并写入：   

1. function [f g H] = myObjective11_2(x)                             % 计算目标函数
   
2. f = 100*(x(2) - x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;
   
3. if nargout > 1                                                    %计算导数
   
4.         g = [-400*(x(2)-x(1)^2)*x(1)-2*(1-x(1)); 200*(x(2)-x(1)^2)];
   
5. if nargout > 2                                                    %计算偏导
   
6.              H = [1200*x(1)^2-400*x(2)+2, -400*x(1); -400*x(1), 200];
   
7.         end
   
8.     end

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保存文件为myObjective11_2.m到当前路径。

在命令行窗口输入：

1. [f g H]=myObjective11_2([1;2;3])

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输出结果如下：   

1. f =    100
   
2. g = -400
   
3.         200
   
4. H =402 -400
   
5.      -400    200

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②写向量和矩阵目标函数组

向量和矩阵目标函数组与单个目标函数相似，但要注意输出的目标函数和导数等均有些不同。

例11-3，写向量和矩阵目标函数组示例。待写入的函数组为：

打开M文件编辑器，并写入：

1. function [F jacF] = myObjective11_3(x)

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保存文件为myObjective11_3.m到当前路径。

在命令行窗口输入：

1. [F jacF]=myObjective11_3([1;2;3])

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输出结果如下：   

1. F = 7.0000
   
2.       0.7568
   
3. jacF =     2.0000      3.0000      2.0000
   
4.          -0.6536     -1.3073      1.9609

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③写线性规划或二次规划目标函数

线性规划的目标函数为：   

1. f'x = f(1)*x(1) + f(2)*x(2)+...+ f(n)*x(n)

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二次规划的目标函数为：

1/2*x'Hx+f'x=1/2*(x(1)*H(1,1)*x(1)+2*x(1)*H(1,2)*x(2)+...+x(n)*H(n,n)*x(n))+f(1)*x(1)+...+f(n)*x(n).

其中，f'为f的倒置向量，H为f的偏导数。

写线性规划或二次规划目标函数一般不需要写函数文件，只需要将相应的数据按照格式准备好，在求解的时候代入相应的函数即可。

4、写约束条件

MATLAB提供的约束条件包括以下四种类型：

边界约束——为参数的上下边界（例如：x ≥ l且x ≤ u）。

线性不等式约束——A·x ≤ b。

线性等式约束——Aeq·x = beq。

非线性不等式/等式约束——c(x) ≤ 0或ceq(x) = 0。

提示：为提高效率，可将一些其他类型的约束转化为边界约束。

5、设置求解器参数

MATLAB提供了optimset函数用于设置求解器参数，该函数的调用格式如下所示：   

1. options = optimset('param1',value1,'param2',value2,...)
   
2. optimset
   
3. options = optimset
   
4. options = optimset(optimfun)
   
5. options = optimset(oldopts,'param1',value1,...)
   
6. options = optimset(oldopts,newopts)

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其中，

options = optimset('param1',value1,'param2',value2,...)创建options的优化选项参数，使用特定参数'paramN'、valueN进行设置。未设置的参数都设置为空矩阵[]。

optimset函数没有输入输出变量时显示完整的带有有效值的参数列表。

options = optimset(optimfun)创建含有所有参数名和与优化函数optimfun相关的缺省值的选项结构options。

options = optimset(oldopts,'param1',value1,...)创建oldopts的拷贝，并用指定的数值修改参数。

options = optimset(oldopts,newopts)将oldopts与新的选项结构newopts进行合并。newopts参数中元素将覆盖oldopts参数中对应元素。

例11-4，使用optimset设置参数。

在命令行窗口输入：   

1. display('显示完整的带有有效值的参数列表：')
   
2. optimset
   
3. display('设置Display为iter：')
   
4. options1 = optimset('Display','iter')
   
5. display('修改options1的TolFun项为1e-10：')
   
6. options2 = optimset(options1,'TolFun', 1e-10)

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输出结果如下：

1. 显示完整的带有有效值的参数列表：
   
2.                       Display:[off | iter |iter-detailed |notify | notify-detailed | final |
   
3.     final-detailed ]
   
4.                       MaxFunEvals: [ positive scalar ]
   
5.                       MaxIter: [ positive scalar ]
   
6.                       TolFun: [ positive scalar ]
   
7.                       %%%%省略部分%%%
   
8.          设置Display为ite0072：
   
9.          options1 =
   
10.                       Display: 'iter'
    
11.                       MaxFunEvals: []
    
12.                       MaxIter: []
    
13.                       TolFun: []
    
14.                       %%%%省略部分%%%
    
15.          修改options1的TolFun项为1e-10：
    
16.          options2 =
    
17.                       Display: 'iter'
    
18.                       MaxFunEvals: []
    
19.                       MaxIter: []
    
20.     TolFun: 1.0000e-10
    
21.      %%%%省略部分%%%

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6、求解并检查结果

需要检查的结果包括求解器输出和迭代过程：

对于求解器输出，需要检查输出参数的结构和正确性；

对于迭代过程，可以在需要的时候通过设置optimset函数的'Display'选项为'iter'来进行显示。

注意：这在结果出错或不收敛的时候非常有用。

7、改善优化结果

改善求解结果一般包括以下4个基本方面：使结果可靠；如果求解失败，则改善求解方案，再次求解；确定求得的最小值是值域范围内最小值还是小区域范围内的最小值；对于时间开销过大的求解，应改善求解条件，降低时间开销。