单样本位置检验

wz306

1、基本原理

单样本位置检验的目的是检验某个样本均值是否等于特定值，最简单的非参数单样本位置检验是符号检验（Sign Test）。它适用于样本和总体中位数的比较、数据的升降趋势的检验等。

符号检验的基本思路为：首先定义样本中数据取值符号（正号或负号）的规则，如检验某个样本均值是否等于特定值，则将样本中每一个数与检验值比较，大于比值的定义为正号，小于此值的定义为负号，而等于特定值的样本被删除。计数正号的个数S + 及负号的个数S - ，此时样本量为n =S + +S - 。当样本n 较小时，应使用二项分布概率计算方法计算检验P 值；当样本n 较大时，常利用二项分布的正态近似计算检验P 值，以下分别介绍。

小样本时的二项分布概率计算：

当n ≤20时，S + 或S - 的检验P 值由精确计算尺度二项分布的卷积获得。以下分三种情形讨论：

当原假设为“样本均值和特定值相等，即出现正负号的个数相等，即S + =S - ”，则正号出现的概率P =0.5，于是S + 与S - 均服从二项分布B （n ，0.5），对于太大的S + 而相应太小的S - ，或者太大的S - 而相应太小的S + ，都将拒绝原假设。此时选择min（S + ，S - ）作为检验统计量，检验P 检 ：

当原假设为“样本均值大于特定值”，正号的个数S + 大于负号的个数S - 的可能性应该大，即正号出现的概率P ＞0.5，对于太小的S + 而相应太大的S − ，将拒绝原假设。选择min（S + ，S - ）作为检验统计量，检验P 检 ：

当原假设为“样本均值小于特定值”，正号的个数S + 小于或等于负号的个数S − 的可能性应该大，即正号出现的概率p ≤0.5，对于太大的S + 而相应太小的S − ，将拒绝原假设。选择min（S + ，S - ）作为检验统计量，检验P 检 ：

大样本时的正态近似概率计算：

当样本量n >20时，我们可以利用二项分布的正态近似，即对于S ～B （n，P ），二项分布的期望均值为nP ，方差为nP （1−P ），当n 比较大时，且nP 和n （1−P ）大于5，可近似地认为：



公式中的S 表示正号或负号的个数，符号检验时，P =0.5，此时得到大样本时的正态近似统计量：



当S >n /2时，应该修正S 为S -0.5；当S <n /2时，应该修正S 为S +0.5。在统计量中增加连续性修正因子0.5的目的是将连续分布应用到近似的离散型分布。

实例——检验某工地施工是否提高小区噪声水平
某住宅小区的夜间噪声一直保持在30dB（分贝）。后来附近有建筑工地施工。表是连续20天夜间在该小区测得的噪声水平（分贝）数据。请问该建筑工地是否提高了小区夜间噪声水平？（α =0.05）

解析： 本例的原假设为“该建筑工地没有提高小区夜间噪声水平”，备择假设为“该建筑工地显著地提高了此小区夜间的噪声水平”。

编写如下程序

1. proc univariate data=chap9.noise mu0=30；/*调用univariate过程，检验样本的中位数是否为30*/
   
2. var noise； /*指定分析变量为noise*/
   
3. run；

复制代码

SAS的univariate过程只能进行双侧检验，但是由于无论双侧还是单侧检验，检验统计量相同，而且双侧检验对应的P 值是单侧检验的两倍，因此本例由软件计算出的P 值应该再除以2才是真正单侧检验的P 值。

选择Run｜Submit命令提交程序，以下分析主要输出结果：表为样本的基本描述性统计量，包括提供样本位置信息的均值（Mean）、中位数（Median）和众数（Mode）及提供样本离散程度信息的标准差（Std Deviation）、方差（Variance）、极差（Range）和分位数极差（Interquartile Range）。

表为对原假设“样本中位数为30（即施工后该地的噪声平均水平仍然保持在30）”的检验结果，非参数检验符号检验（Sigh）统计量的值为6，对应的双边检验的P 值为0.0118，则单边检验P 值为0.0059，小于显著性水平0.05，则应该拒绝原假设，接受备择假设，认为该地由于施工导致噪声明显上升，要求物业管理和社会治安部门予以干涉。