[Matlab数据分析]使用有限数据推算其他数值
本帖最后由 2支棒棒糖 于 2018-8-17 13:48 编辑插值与拟合是使用有限数据对其他数值进行推算的基本方法。插值可以通过有限点来建立简单连续的解析模型，并根据该模型得到未知点处的值。插值的方法很多，插值按对象可分为一维插值、多维插值和离散数据插值。1．一维插值MATLAB提供了interp1函数实现一维插值，该函数的调用格式如下：yi = interp1(x,Y,xi)
yi = interp1(Y,xi)
yi = interp1(x,Y,xi,method)
yi = interp1(x,Y,xi,method,'extrap')
yi = interp1(x,Y,xi,method,extrapval)
pp = interp1(x,Y,method,'pp')其中，x为自变量的取值向量；Y为对应的函数值；xi为插值点；yi为插值结果；'extrap'表示进行外插，extrapval表示外插标量；'pp'为采用分段多项式进行插值，pp为得到的结果。另外，MATLAB还提供了其他插值函数，如pchip、spline等；这里暂不对这些函数做具体介绍。例10-6，一维插值示例。在命令行窗口输入：x = 0:10;
y = sin(x);
xi = 0:.25:10;
y1 = interp1(x,y,xi); %线性插值
subplot(121);plot(x,y,'o',xi,y1);title('linear')
y2 = interp1(x,y,xi,'spline'); %三次样条插值
subplot(122);plot(x,y,'o',xi,y2) ;title('spline')MATLAB还提供了griddedInterpolant函数用于栅格的一维插值，该函数的调用格式如下所示：F = griddedInterpolant(x,v)
F = griddedInterpolant(X1,X2,...,Xn,V)
F = griddedInterpolant(V)
F = griddedInterpolant({xg1,xg2,...,xgn},V)
F = griddedInterpolant(...,Method)其中，F为返回的插值函数；method为插值方法，如表10.1所示；x、v为同大小向量输入；X1, X2, ..., Xn构成n维数组，构成插值栅格点；V与X1, X2, ..., Xn构成的数组同维，为栅格点的值；{xg1,xg2,...,xgn}为单元数组。例10-7，多列一维插值示例。在命令行窗口输入：x = (1:5)';
V =
samplePoints = {x, 1:size(V,2)};
F = griddedInterpolant(samplePoints,V);
queryPoints = {(1:0.5:5),1:size(V,2)};
Vq = F(queryPoints)输出结果如下：V = 1 2 3
2 4 6
3 6 9
4 8 12
5 10 15
Vq =1.0000 2.0000 3.0000
1.5000 3.0000 4.5000
2.0000 4.0000 6.0000
2.5000 5.0000 7.5000
3.0000 6.0000 9.0000
3.5000 7.0000 10.5000
4.0000 8.0000 12.0000
4.5000 9.0000 13.5000
5.0000 10.0000 15.0000提示:上例中实际进行了二维插值，然后再从二维插值中取样得到一维插值。对于多列向量，这种插值方法是一种高效的方法。2．多维插值MATLAB提供多维插值的函数包括griddedInterpolant、interp2、interp3、interpn等。下面介绍使用这些函数的插值方法。前文中已经提到的griddedInterpolant可以进行二维插值，如例10-6所示。例10-8，细化网格采样点示例。在命令行窗口输入： = ndgrid(1:10,1:10);
V = X1.^2 + X2.^2;
subplot(121);mesh(X1,X2,V);
F = griddedInterpolant(X1,X2,V, 'cubic');
= ndgrid(1:0.25:10,1:0.25:10);
Vq = F(Xq1,Xq2);
subplot(122);mesh(Xq1,Xq2,Vq);MATLAB提供了interp2函数用于二维数据的插值，该函数的调用格式如下所示：ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI)
ZI = interp2(Z,XI,YI)
ZI = interp2(Z,ntimes)
ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI,method)
ZI = interp2(...,method, extrapval)其中，X、Y、Z为采样数据点坐标；XI、YI、ZI为待插值点的坐标和返回的值；method为插值方法，见上文表10.1部分说明；extrapval表示外插标量。例10-9，使用interp2进行二维插值示例。在命令行窗口输入： = meshgrid(-3:.5:3);
Z = peaks(X,Y);
= meshgrid(-3:.25:3);
ZI1 = interp2(X,Y,Z,XI,YI);
ZI2 = interp2(X,Y,Z,XI,YI, 'nearest');
ZI3 = interp2(X,Y,Z,XI,YI,'spline');
subplot(221);surf(X,Y,Z), axis([-3 3 -3 3 -5 5]) ;title('Sample')
subplot(222);surf(XI,YI,ZI1), axis([-3 3 -3 3 -5 5]) ;title('Linear')
subplot(223);surf(XI,YI,ZI2), axis([-3 3 -3 3 -5 5]) ;title('Nearest')
subplot(224);surf(XI,YI,ZI3), axis([-3 3 -3 3 -5 5]) ;title('Spline')MATLAB提供了interp3函数用于三维数据的插值，该函数的调用格式如下所示：VI = interp3(X,Y,Z,V,XI,YI,ZI)
VI = interp3(V,XI,YI,ZI)
VI = interp3(V,ntimes)
VI = interp3(...,method)
VI = interp3(...,method,extrapval)其中，X、Y、Z、V为采样数据点坐标和值；XI、YI、ZI、VI为待插值点的坐标和返回的值；method为插值方法，见上文中表10.1部分说明；extrapval表示外插标量；X、Y、Z默认为数据下标；ntimes为对数据点间插值的次数。例10-10，三维插值示例。在命令行窗口输入： = flow(10);
subplot(121);slice(x,y,z,v,,2,[-2 .2])
= meshgrid(.1:.25:10, -3:.25:3, -3:.25:3);
vi = interp3(x,y,z,v,xi,yi,zi,'spline'); % vi is 25-by-40-by-25
subplot(122);slice(xi,yi,zi,vi,,2,[-2 .2])MATLAB提供了interpn函数用于多维数据的插值，由于前文提供的函数已基本能满足使用要求，故本书不再介绍此函数。如有需要，可参考帮助文档。3．离散数据插值离散数据是点X与值V对应的非连续数据。由于离散数据的点没有规律可言，所以相对而言插值较为复杂。MATLAB提供的离散数据插值函数包括griddata、griddatan和TriScatteredInterp函数。griddata函数的调用格式如下：vq = griddata(x,y,v,xq,yq)
vq = griddata(x,y,z,v,xq,yq,zq)
vq = griddata(..., method)其中，x、y、z为坐标，v为对应采样值；xq、yq、zq为插值点坐标，vq为插值结果；method为插值方法，可选'linear'、'cubic'、'natural'、'nearst'和'v4'，'natural'为自然相邻插值，'v4'为MATLAB4采用的方法，其余可参考前文同样的参数。例10-11，使用griddata函数进行离散数据插值示例。在命令行窗口输入：xy = -2.5 + 5*gallery('uniformdata',,0);
x = xy(:,1); y = xy(:,2);
v = x.*exp(-x.^2-y.^2);
= meshgrid(-2:.2:2, -2:.2:2);
vq = griddata(x,y,v,xq,yq); h = gca; set(h,'XLim',[-2.7 2.7]); set(h,'YLim',[-2.7 2.7]);
subplot(121); plot3(x,y,v,'o');
h = gca;set(h,'XLim',[-2.7 2.7]);set(h,'YLim',[-2.7 2.7]);
subplot(122);mesh(xq,yq,vq);
hold on;plot3(x,y,v,'o');
h = gca;set(h,'XLim',[-2.7 2.7]);set(h,'YLim',[-2.7 2.7]);TriScatteredInterp函数的调用格式为：
F = TriScatteredInterp()
F = TriScatteredInterp(X, V)
F = TriScatteredInterp(X, Y, V)
F= TriScatteredInterp(X, Y, Z, V)
F = TriScatteredInterp(..., method)其中，X、Y、Z为坐标，V为坐标对应值，F为返回值；method为插值方法，可选'linear'、'natural'或'nearst'。例10-12，使用TriScatteredInterp函数进行离散数据插值示例。在命令行窗口输入：
x = rand(100,1)*4-2;
y = rand(100,1)*4-2;
z = x.*exp(-x.^2-y.^2);
subplot(121);plot3(x,y,z,'o');
F = TriScatteredInterp(x,y,z);
ti = -2:.25:2;
= meshgrid(ti,ti);
qz = F(qx,qy);
subplot(122);mesh(qx,qy,qz);hold on;plot3(x,y,z,'o');4.曲线拟合曲线拟合可以支持在数据间支持定量关系式，这在工程和科学应用上非常重要。本小节着重介绍在MATLAB中使用多项式进行拟合的方法。MATLAB提供用于多项式拟合的函数为polyfit函数，该函数的调用格式如下：p = polyfit(x,y,n)
其中，x、y、n为输入的x值、y值和拟合多项式的阶次；p为得到的多项式系数。例10-13，使用polyfit函数进行曲线拟合示例。在命令行窗口输入：x = (0: 0.7: 5)';
x1= (0: 0.05: 5)';
y = sin(x);
p1 = polyfit(x,y,4)
p2 = polyfit(x,y,7)
p3 = polyfit(x,y,10)
f1 = polyval(p1,x1);
f2 = polyval(p2,x1);
f3 = polyval(p3,x1);
subplot(131);plot(x,y,'o',x1,f1,'-'); axis()
subplot(132);plot(x,y,'o',x1,f2,'-'); axis()
subplot(133);plot(x,y,'o',x1,f3,'-'); axis()输出结果如下：p1 = 0.0196 -0.1059 -0.2303 1.1746 -0.0080
p2 = 0.0001 -0.0030 0.0211 -0.0303 -0.1264 -0.02751.0073 -0.0000
p3 = Columns 1 through 9
0.0002 -0.0030 0.0217 -0.0749 0.1150 0-0.1857 0 0
Columns 10 through 11
0.9719 0.0000
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