MATLAB积分方法
一 相关函数
1.符号积分
int(f,v)
int(f,v,a,b)
2.数值积分
trapz(x,y)%梯形法沿列方向求函数Y关于自变量X的积分
cumtrapz(x,y)%梯形法沿列方向求函数Y关于自变量X的累计积分
quad(fun,a,b,tol)%采用递推自适应Simpson法计算积分
quad1(fun,a,b,tol)%采用递推自适应Lobatto法求数值积分
dbquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol)%二重(闭型)数值积分指令
triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol)%三重(闭型)数值积分指令
3.利用int命令进行二重积分、三重积分计算
格式：int(int(f,y,y1(x),y2(x)),x,a,b)
int(int(int(f,z,z1(x,y),z2(x,y)),y,y1(x),y2(x)),x,a,b)
二.示例:
例1:计算f(t)=exp(-t^2)在上的定积分
本例演示:计算定积分常用方法
>>symsx
int(exp(-x^2),0,1)
ans=
1/2*erf(1)*pi^(1/2) %erf为误差函数
>>vpa(int(exp(-x^2),0,1))
ans=
.7468241328124270
>>d=0.001;x=0:d:1;d*trapz(exp(-x.^2))
ans=
0.7468
>>quad('exp(-x.^2)',0,1,1e-8)
ans=
0.7468
例2:计算f(t)=1/log(t)在,0<x<1上的积分
注意:被积函数于x=0无义,在x-->1^-处为负无穷
本例演示:用特殊函数表示的积分结果,如何用mfun指令
（1）
symstx
ft=1/log(t);
sx=int(ft,t,0,x)
sx=
-Ei(1,-log(x)) %完全椭圆函数
（2）
x=0.5:0.1:0.9
sx_n=-mfun('Ei',1,-log(x))
x=
0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000
sx_n=
-0.3787 -0.5469 -0.7809 -1.1340 -1.7758
（3）%图示被函数和积分函数
clf
ezplot('1/log(t)',)
gridon
holdon
plot(x,sx_n,'LineWidth',3)
Char1='1/ln(t)';
Char2='{int_0^x}1/ln(t)dt';
title()
legend(Char1,Char2,'Location','SouthWest')
例3:计算f(t)=exp(-sin(t))在上的定积分
注意:本题被函数之原函数无"封闭解析表达式",符号计算无法解题!
本例演示:符号计算有限性
（1）符号计算解法
symstx
ft=exp(-sin(t))
sx=int(ft,t,0,4)
ft=exp(-sin(t))
Warning:Explicitintegralcouldnotbefound.
>Insym.intat58
sx=
int(exp(-sin(t)),t=0..4)
（2）数值计算解法
dt=0.05; %采样间隔
t=0:dt:4; %数值计算适合于有限区间上,取有限个采样点
Ft=exp(-sin(t));
Sx=dt*cumtrapz(Ft); %计算区间内曲线下图形面积,为小矩形面积累加得
Sx(end) %所求定积分值
%图示
plot(t,Ft,'*r','MarkerSize',4)
holdon
plot(t,Sx,'.k','MarkerSize',15)
holdoff
xlabel('x')
legend('Ft','Sx')
>>ans=
3.0632
例4:绘制积分图形,y=2/3*exp(-t/2)*cos(sqrt(3)/2*t);积分s(x)=int(y,t,0,x)于上
symsttao
y=2/3*exp(-t/2)*cos(sqrt(3)/2*t);
s=subs(int(y,t,0,tao),tao,t); %获得积分函数
subplot(2,1,1)
%
ezplot(y,),ylim([-0.2,0.7]) %单变量符号函数可视化,多变量用ezsurf
gridon
subplot(2,1,2)
ezplot(s,)
gridon
title('s=inty(t)dt')
注意！：最前面应该加上
symsx y;
否则会报错为：Undefined function or variable 'x'.
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